TEOREMA FUNDAMENTAL DE LA PROPORCIONALIDAD

Si una recta paralela al lado 

BC

 del triángulo 

ABC

 corta  en 

′

B

 a 

AB

 y en 

′

C

 a 

AC

), entonces

AB

A

B

′

=

AC

A

C

′

=

BC

B

′

C

′

Este es el Teorema de Tales para triángulos del cual hemos hablado ya en MaTeTaM. En esta oportunidad comentaré el teorema particularizado para triángulos rectángulos y lo demostraré con el método de áreas.

Tales para triángulo rectángulo

Para demostrar el teorema de Tales (el que está en la base del razonamiento proporcional más básico) se puede utilizar el método de áreas. Ya en otra ocasión hemos presentado este método, pero puede que este post redundante sea de alguna utilidad para los novicios en matemáticas de concurso --dado que presenta al mismo tiempo la lógica del método de áreas con un problema elemental.

El concepto de proporcionalidad es equivalente al de semejanza cuando se comparan dos triángulos semejantes. De hecho las propiedades de la proporcionalidad (reflexividad, simetría y transitividad) son las mismas que las de la semejanza.

9.6: Teorema fundamental de la proporcionalidad:

Si una recta paralela a un lado de un triangulo interseca a los otros dos lados, entonces divide a éstos proporcionalmente. Y su recíproca establecido en el teorema 9.7: si una recta interseca a dos lados de un triangulo y los divide proporcionalmente, entonces la recta es paralela al tercer lado.

Media geométrica: parte esencial de la proporcionalidad y de la semejanza de triángulos.

Sólo es relevante la media geométrica si todos los números son positivos. Si uno de ellos es 0, entonces el resultado es 0. Si hay un número negativo (o una cantidad impar de ellos) entonces la media geométrica es, o bien negativa o bien inexistente en los números reales. 

Teorema 9.10: En un triangulo rectángulo, la longitud de la altura a la hipotenusa es la media geométrica entre las longitudes de los dos segmentos de la hipotenusa.

Teorema 9.11: Dados un triangulo rectángulo y la altura de la hipotenusa, cada cateto es la media geométrica entre la longitud de la hipotenusa y la longitud del segmento de la hipotenusa adyacente al cateto.