SEMEJANZA

En esta sección se analizará el concepto de semejanza de triángulos, con el fin de poder comprender su significado y aplicarlo en la solución de problemas.  Antes de profundizar dicho concepto, se interiorizará solamente el concepto de semejanza.

Para lo que se quiere realizar, es necesario el conocimiento de lo que son lados correspondientes y lo que es proporcionalidad, para ello considere la figura que se muestra abajo en la que los lados correspondientes son respecticamente:

c y c' (lado grande y lado grande)

a y a' (lado pequeño y lado pequeño)

b y b' (lado mediano y lado mediano)

Observe que al realizar la división entre los lados homólogos (correspondientes) el resultado que se obtiene  es 2 (dividiendo 10 entre 5, 8 entre 4 y 6 entre 3), este valor recibe el nombre de razón y cuando la razón es igual en todos y cada uno de los lados correspondientes, se dice que los lados sonproporcionales. 

El concepto de semejanza en la vida cotidiana

Cuando se utiliza el término de semejanza en el lenguaje cotidiano, ¿a qué nos estamos refiriendo?  Será acaso:

• Un objeto que se parece a otro
• Objetos de igual tamaño
• Objetos de igual forma
• Objetos exactamente iguales

Es difícil poder seleccionar una opción que responda correctamente a la pregunta planteada, ya que de acuerdo al contexto de la conversación, el significado y utilización de la palabra semejanza, podría hacer referencia a objetos que se parecen en tamaño, forma o exactamente iguales, entre otros.

Por ejemplo:

1. El color del automóvil de Pedro es semejante al color del automóvil de María.
2. La pelota de ping-pong es semejante a la de fútbol.
3. La estatura de Marcela es semejante a la de Enrique
4. Los gemelos Baltodano Carrillo son tan semejantes que es difícil diferenciarlos.
5. La llave que usa Sofía, para abrir la puerta de su casa, es semejante a la de su hermano José.

Se podría seguir enunciando ejemplos, que ayuden a comprender el concepto de semejanza.  Note que en los ejemplos mencionados, el significado de semejanza hace referencia a una característica común entre los objetos o personas, tales como:  color, tamaño y forma, entre otros. 

Resumiendo:  el uso del concepto de semejanza en el lenguaje cotidiano se refiera al "parecido", en una o más características, que existe entre dos personas u objetos.

Semejanza de triángulos

Ya se ha estudiado el concepto de semejanza, tanto en lenguaje cotidiano como en leguaje matemático.  Se aplicarán ambas definiciones para establecer el concepto de semejanza de triángulos.

Se podría afirmar, con lo que ya se conoce, que dos triángulos son semejantes si poseen una misma forma y sus partes guardan una proporción.}

Semejanza de tRIÁNGULOSPresentation Transcript

• 1. SEMEJANZA DE TRIÁNGULOSALUMNOS DE CUARTO GRADO
• 2. • En esta presentación encontrarás : Descripción Criterios de del concepto Definición y semejanza de semejanza ejemplos del de triángulos y ejemplos concepto de y ejemplos semejanza Algunos Todos estos elementos ejercicios son la base de los sencillos contenidos relacionados con la unidad de semejanza
• 3. SEMEJANZA
• 4. Descripción: Dos figuras son semejantes cuando tienen la misma “forma”, pero no necesariamente el mismo tamañoEjemplos defigurassemejantes
• 5. No son figuras semejantes
• 6. Definición geométrica: Dos figuras son semejantes cuando la razón entre las medidas de sus lados homólogos (correspondientes) es constante, es decir son proporcionales y sus ángulos correspondientes son congruentes Ejemplo:¿Los siguientes rectángulos son semejantes? ¿Tienen sus lados respectivos proporcionales? 10cm 10 4 5cm = 5 2 Así es, ya que los productos 2cm “cruzados” son 4cm iguales 10 •2 = 5 • 4¿Son sus ángulos correspondientescongruentes? Al cumplirse las dos Efectivamente, al tratarse de dos condiciones anteriores, rectángulos, todos los ángulos podemos decir que los miden 90º y se cumple que los ángulos correspondientes son dos rectángulos son congruentes semejantes
• 7. Triángulos SemejantesDos triángulos son semejantes si sus ángulos son, respectivamente, iguales y sus lados homólogos son proporcionales.
• 8. Criterios de Semejanza de TriángulosExisten algunos principios que nos permitendeterminar si dos triángulos son semejantes sin necesidad de medir y comparar todossus lados y todos sus ángulos. Estosprincipios se conocen con el nombre decriterios de semejanza de triángulos ocasos de semejanza.
• 9. Existen tres casos de semejanza de triángulos 1. AA ( ángulo-ángulo) 2. LLL (lado-lado-lado) 3. LAL (lado-ángulo-lado)
• 10. I. Primer Caso AA Dos triángulos que tienen los dos ángulos congruentes son semejantes entre sí. A A´ α´ α β γ B C γ´ β C’ ´ B´Es decir: Si α = α´ , β = β´ de lo anterior se deduce que γ = γ ´Entonces, ∆ ABC semejante con ∆A´B´C´
• 11. Ejemplo¿Son los siguientes triángulos semejantes? 65 65 25 2 5 ¡SI! Por que al tener dos de sus ángulos congruentes, cumplen con el criterio AA
• 12. II. Segundo Caso LLL Dos triángulos que tienen los tres lados proporcionales son semejantes entre sí. A A´ b b´ a a´ C B c Es decir: C’ B´ a b c c´ a´ = b´ = c´ =K El cociente obtenido de comparar los lados homólogos entre síEntonces, ∆ ABC semejante con ∆A´B´C´ recibe el nombre de razón de semejanza.
• 13. Ejemplo Determine si los triángulos ABC y PQR son semejantes PVerifiquemos si las medidas de los B 1,5lados son proporcionales C 3,5 1,5 3,5 5 7 3 = 7 = 10 5 A 10 Efectivamente , así es, ya que los productos “cruzados” son iguales 1,5 • 7 = 3 • 3,5 = 10,5 3,5 • 10 = 7 • 5 = 35 QPor lo tanto Triángulos ABC y PQR son 3semejantes por criterio LLL R
• 14. III. Tercer Caso LAL Dos triángulos que tienen dos lados proporcionales y el ángulo comprendido entre ellos es igual, son semejantes entre sí. A A´ a a´ α C B c α´ C’ c´ B´Es decir: a c a´ = c´ y α = α´ Entonces ∆ ABC semejante a ∆ A´B ´C´
• 15. Ejemplo ¿Son los triángulos ABC y DEF semejantes? Veamos si dos de sus lados son proporcionales A D 9 3 E = 4 3 9 12 C B 4 Efectivamente así es, ya que los productos 12 “cruzados” son iguales 3 • 12 = 4 • 9 Efectivamente, porque,¿Los ángulos formados por tal como se señala en elestos dos lados son dibujo, ambos son rectoscongruentes? F Por criterio LAL Triángulos ABC y DEF son SEMEJANTES
• 16. Algunas aplicaciones de estos conceptos
• 17. Ejercicio Conocemos las dimensiones de los lados de dos triángulos. Comprueba que son semejantes y halla la razón de semejanza. a) 8 cm, 10 cm, 12 cm b) 52 cm, 65 cm, 78 cm Representemos el ejercicio Efectivamente, al calcular los productos “cruzados”, 65 podemos ver la 12 proporcionalidad entre las 8 78 medidas de los lados respectivos 10 52 •10 = 8 • 65 = 520 52 65 • 12 = 10 •78 = 780Comprobemos que las medidas de loslados homólogos son proporcionales Para calcular la razón de semejanza se calcula una 52 = 65 = 78 = 6,5 de las razones 8 10 12 65 : 10 = 6,5 Entonces los triángulos son semejantes por criterio LLL
• 18. Ejercicio Tenemos un triángulo cuyos lados miden 3 cm, 4 cm y 5 cm respectivamente y deseamos hacer una ampliación a escala 3:1. ¿Cuánto medirá cada lado?.¿Cuál es la razón de semejanza?. Representamos la situación x=9 5 3 12 = y 4 z =15Luego, debe ocurrir: X Y Z 3 3 = 4 = 5 = 1 =3 Entonces: X = 3 X= 3· 3 = 9 3 Y Escala de 4 =3 Y = 4 · 3 =12 ampliación La razón de semejanza es 3 Z =3 Z = 5 · 3 = 15 5
• 19. OTRO EJERCICIO SIMILAR Los lados de un triángulo miden 30, 40 y 50 centímetros respectivamente. Los lados de un segundo triángulo miden 12, 16 y 20 centímetros. ¿Son semejantes?. En caso afirmativo, ¿cual es la razón de semejanza?. Para comprobar la proporcionalidad podemos 20 12 efectuar los productos 50 “cruzados” 30x16=480 y 40x12=48030 además 16 40x20=800 y 16x50=800 40Comprobemos que las medidas de los Para calcular la razón delados homólogos son proporcionales semejanza se calcula una de las razones 50 : 20 = 2,5 30 = 40 = 50 12 16 20
• 20. UNA APLICACIÓN Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros; ¿qué altura tiene un árbol que a la misma hora proyecta una sombra de 4,5 metros?(Haz un dibujo del problema). Son semejantes por que cumplen p el criterio AA, tienen iguales el o ángulo recto y el s 3m ángulo de t x elevación que e forman los rayos solares con el suelo 2m sombra 4,5m Los triángulos definidos por el poste y su sombra y el árbol y su sombra son semejantes, por lo tantoFormamos la proporción 3 2 X= 3 • 4,5 = 6,75m x = 4,5 De donde 2
• 21. Para terminar una pequeña demostración
• 22. Demuestre: Si L1// L2 , , entonces ΔABC ~ΔDEC B A C D EDemostración Afirmaciones Razones ∠ABC ≅ ∠CDE Por ser ángulos alternos internos entre // ∠BAC ≅ ∠CDE Por ser Ángulos alternos internos entre // Por lo tanto al tener dos ángulos congruentes, se cumple al criterio AA, luego, los triángulos ABC y DEC son semejantes